Definición de Geometría
La geometría es una de las ramas de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades del espacio como ser: puntos, planos, polígonos, rectas, poliedros, curvas, superficies, entre otros.
Entre los varios propósitos que la originaron allá muy lejos en lo que era el Antiguo Egipto se cuentan: la solución de problemas referidos a medidas, como la justificación teórica de elementos de medición como el compás, el pantógrafo y el teodolito.Aunque también con el tiempo y gracias a los avances que en su estudio se fueron logrando, la geometría hoy es fundamento teórico de otras cuestiones como ser el Sistema de Posicionamiento Global, más que nada cuando este está en combinación con el análisis matemático y las ecuaciones diferenciales y asimismo también es muy útil y consultada en la preparación de diseños tales como el dibujo técnico o para el armado de artesanías.
Como bien decíamos más arriba el nacimiento de esta disciplina se remonta al Antiguo Egipto, la geometría clásica basada en axiomas que predominaba por esos días se valía del compás y la regla para estudiar las distintas construcciones.
Como la geometría no es plausible de errores, es que se desarrollaron los sistemas axiomáticos que proponían una disminución en el error y suponía un método sumamente riguroso. El primer sistema axiomático llegó como no podía ser de otra manera con quien hoy es considerado como el padre de la Geometría, el matemático griego Euclides.
Su obra Los Elementos recopila sus enseñanzas en el mundillo académico de ese entonces y es una de las obras más conocidas y la que más vueltas le ha dado al mundo.
En esta, Euclides, plantea varios postulados y teoremas que incluso siguen vigentes hoy en la enseñanza escolar, así que muchos de ustedes, si no se quedaron dormidos durante las horas de geometría podrán reconocerlos.
Así que lo que citaremos a continuación y que varios lo reconocerán se lo debemos pura y exclusivamente a Euclides: por dos puntos solo se puede trazar una línea recta, todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente, todos los ángulos rectos son iguales, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180° y en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos y podríamos seguir, pero no queremos sacarle protagonismo a la profe de geometría.
Líneas paralelas, secantes y perpendiculares
Líneas paralelas son líneas que siempre tienen la misma distancia entre sí. Nunca se cruzarán o intersectarán.
Líneas secantes son líneas que se intersectan o cruzan entre sí.
Líneas perpendiculares son líneas secantes especiales.
En donde se cruzan, forman un ángulo recto.
En donde se cruzan, forman un ángulo recto.
ESQUEMA
Símbolo paralelas
Símbolo perpendiculares:
ÁNGULOS. DEFINICIÓN, CLASIFICACIÓN Y OPERACIONES BÁSICAS.
DEFINICIÓN
Un ángulo es la porción del plano determinada o comprendida por dos semirrectas con origen común. o dos rectasque se cortan en un punto.
Las semirrectas que lo forman se llaman lados del ángulo y el punto común, vértice.
Lo que caracteriza a un ángulo es la apertura de sus lados. Por lo tanto a partir de ahora nos referiremos a ángulo cuando queramos hablar de la apertura entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice.
Desde el vértice de un ángulo se pueden trazar arcos de circunferencia que conectan los lados y generan puntos equidistantes del vértice sobre los lados. El trazado de arcos en los ángulos constituye un trazado fundamental para la realización de operaciones básicas.
DESIGNACIÓN
Un ángulo, al ser un fragmento de plano, se designa o se nombra mediante una letra griega (α Alfa, β Beta, π Pi, ω Omega, φ Fi).
Cuando el ángulo está formado por lados de un polígono utilizaremos el símbolo ˆ.
MEDIDA
Se llama amplitud de un ángulo a la medida de éste. Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son: el radian (1 vuelta = 2π rad), los grados sexagesimales (1 vuelta = 360°) y el grado centesimal (1 vuelta = 400g).
Nosotros mediremos los ángulos en el sistema sexagesimal, es decir, utilizando 360° para una vuelta completa o ángulo lleno.
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc. Éste último será el que utilicemos en clase habitualmente.
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| transportador de ángulos o semicírculo graduado |
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cómo se utiliza el transportador (clic para ampliar)
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CLASIFICACIÓN
Podemos clasificar los ángulos según su medida o amplitud y según su posición.
- Según su medida:
- Agudo: amplitud mayor de 0° y menor de 90°.
- Recto: amplitud = 90°. Sus lados son perpendiculares.
- Obtuso: amplitud mayor de 90°.
- Llano: amplitud = 180°. Sus lados están alineados y su arco es una semicircunferencia.
- Completo: amplitud = 360°. Sus lados son coincidentes y su arco es una circunferencia completa.
- Según su posición:
ÁNGULOS NOTABLES
Los ángulos notables son aquellos que pueden ser hallados fácilmente mediante trazados u operaciones euclidianas, sin la ayuda de plantillas de medición (transportador de ángulos). Van de 15° en 15° y son los ángulos más utilizados. Algunos de los ángulos notables más populares se encuentran, debido a su uso frecuente, en la escuadra (45° + 45° + 90°) y el cartabón (30° + 60° + 90°).
TRAZADO DE ÁNGULOS NOTABLES UTILIZANDO LAS PLANTILLAS DE DIBUJO
Podemos encontrar y trazar directamente los siguientes ángulos notables mediante las plantillas de dibujo (escuadra y cartabón):
DEFINICIÓN DE POLÍGONO: Etimológicamente, la palabra “POLÍGONO” proviene de las raíces “POLI” que significa “muchos” y “GONOS” que significa “ángulos”; por lo tanto, es un trazo que contiene muchos ángulos.
NOTACIÓN: Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas situadas en lo vértices del mismo, después de la palabra “Polígono”.
En un polígono hay que considerar:
NOTACIÓN: Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas situadas en lo vértices del mismo, después de la palabra “Polígono”.
En un polígono hay que considerar:
- LADOS: Son las rectas que limitan al polígono.
- ÁNGULOS INTERNOS: Son los formados por los lados consecutivos.
- ÁNGULOS EXTERNOS: Son los formados por un lado y la prolongación de lado adyacente.
- VÉRTICES: Son los extremos comunes de cada dos segmentos consecutivos.
- DIAGONALES: Son las rectas que unen dos vértices no consecutivos del polígono.
POLIGONAL CERRADA: Es una poligonal en la que el extremo del último segmento y el origen del primero coinciden.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
- Según el carácter entrante o saliente de los ángulos del polígono se distingue lo siguiente:
a) POLÍGONOS CONVEXOS: Cuando tienen todos sus lados salientes, es decir, tienen todos sus ángulos menores que 180°.
b) POLÍGONOS CONCAVOS: Cuando tienen algún ángulo entrante, es decir, uno ó más de sus ángulos interiores son mayores de 180°.
- Según la regularidad de sus elementos se distingue lo siguiente:
a) POLÍGONOS REGULARES: Son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales.
b) POLÍGONO IRREGULAR: Son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales.
- Según el número de lados, algunos polígonos reciben nombres específicos.
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